[C++] 백준 11066 - 파일 합치기(동적 계획법, 이후에 다시 보자)

0. 주어진 문제

파일 합치기 성공

시간 제한	메모리 제한	제출	정답	맞은 사람	정답 비율
2 초	256 MB	7555	3967	2521	51.862%

문제

소설가인 김대전은 소설을 여러 장(chapter)으로 나누어 쓰는데, 각 장은 각각 다른 파일에 저장하곤 한다. 소설의 모든 장을 쓰고 나서는 각 장이 쓰여진 파일을 합쳐서 최종적으로 소설의 완성본이 들어있는 한 개의 파일을 만든다. 이 과정에서 두 개의 파일을 합쳐서 하나의 임시파일을 만들고, 이 임시파일이나 원래의 파일을 계속 두 개씩 합쳐서 소설의 여러 장들이 연속이 되도록 파일을 합쳐나가고, 최종적으로는 하나의 파일로 합친다. 두 개의 파일을 합칠 때 필요한 비용(시간 등)이 두 파일 크기의 합이라고 가정할 때, 최종적인 한 개의 파일을 완성하는데 필요한 비용의 총 합을 계산하시오.

예를 들어, C1, C2, C3, C4가 연속적인 네 개의 장을 수록하고 있는 파일이고, 파일 크기가 각각 40, 30, 30, 50 이라고 하자. 이 파일들을 합치는 과정에서, 먼저 C2와 C3를 합쳐서 임시파일 X1을 만든다. 이때 비용 60이 필요하다. 그 다음으로 C1과 X1을 합쳐 임시파일 X2를 만들면 비용 100이 필요하다. 최종적으로 X2와 C4를 합쳐 최종파일을 만들면 비용 150이 필요하다. 따라서, 최종의 한 파일을 만드는데 필요한 비용의 합은 60+100+150=310 이다. 다른 방법으로 파일을 합치면 비용을 줄일 수 있다. 먼저 C1과 C2를 합쳐 임시파일 Y1을 만들고, C3와 C4를 합쳐 임시파일 Y2를 만들고, 최종적으로 Y1과 Y2를 합쳐 최종파일을 만들 수 있다. 이때 필요한 총 비용은 70+80+150=300 이다.

소설의 각 장들이 수록되어 있는 파일의 크기가 주어졌을 때, 이 파일들을 하나의 파일로 합칠 때 필요한 최소비용을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

입력

프로그램은 표준 입력에서 입력 데이터를 받는다. 프로그램의 입력은 T개의 테스트 데이터로 이루어져 있는데, T는 입력의 맨 첫 줄에 주어진다.각 테스트 데이터는 두 개의 행으로 주어지는데, 첫 행에는 소설을 구성하는 장의 수를 나타내는 양의 정수 K (3 ≤ K ≤ 500)가 주어진다. 두 번째 행에는 1장부터 K장까지 수록한 파일의 크기를 나타내는 양의 정수 K개가 주어진다. 파일의 크기는 10,000을 초과하지 않는다.

출력

프로그램은 표준 출력에 출력한다. 각 테스트 데이터마다 정확히 한 행에 출력하는데, 모든 장을 합치는데 필요한 최소비용을 출력한다.

예제 입력 1 

2
4
40 30 30 50
15
1 21 3 4 5 35 5 4 3 5 98 21 14 17 32

예제 출력 1 

300
864

1. 풀이

1) 이 문제를 처음 보고 쉽게 구현을 할 수 있을 것이라고 생각했다. 배열을 크기순으로 정렬하고, 가장 작은 2개를 계속 더하는 형식으로 구현하였지만, 정답이 아니길래 찾아보니 인접한 페이지끼리만 합치는것이 가능하였다.

2) 그럼 인접한 것을 합치는 방법을 생각해보자.

예제의 두번째 입력을 예시로 해보겠다.

1 21 3 4 5 35 5 ... 의 입력을 합치는 방법은

1 / 21 3 4 5 35 5 ...으로 1과 나머지를 합치는 것

1 21 / 3 4 5 35 5 .... 으로 1과 21을 합친것과 나머지를 합치는 것

1 21 3 / 4 5 35 5 .... 으로 1과 21과 3을 합친것과 나머지를 합치는 것

...

위의 과정을 반복하며, 가장 최솟값을 찾아야 한다.

dp[a][b] = a부터 b까지 페이지를 합친 최솟값(a<b)

sum[a] = 0부터 a까지 페이지의 값을 더한 값이라하자.

또한, dp[a][a] = cost[a]

이때의 점화식을 살펴보면

dp[a][a] = sum[a] - sum[a-1]

dp[a][a+1] = sum[a+1] - sum[a-1]

dp[a][a+2] = min(dp[a][a] + dp[a+1][a+2], dp[a][a+1] + dp[a+2][a+2])

이게 최소 부분이고, 더 큰 입력이 들어올 시, 3번째와 같이 분할정복을 해야한다.

위의 예시를 다시 가져와보자.

dp[1][7] = dp[1][1] + dp[2][7],

dp[1][7] = dp[1][2] + dp[3][7],

dp[1][7] = dp[1][3] + dp[4][7],

dp[1][7] = dp[1][4] + dp[5][7],

dp[1][7] = dp[1][5] + dp[6][7],

dp[1][7] = dp[1][6] + dp[7][7]

이때 메모이제이션을 활용하면, dp를 한번 구한 이후 반복된 연산이 필요 없도록 할 수 있다.

아래 소스코드는 이를 구현한 것이다.

이 방법의 시간복잡도는 의 크기를 가진다.

의 크기로 구현하는 방법도 있었는데, 그 방법은 솔직히 잘 이해가 가질 않아서 링크에서 이해해주시길 바라겠습니다.

이건 나중에 다시 한번 이해되면 구현해보자.

2. 소스코드

#include<iostream>
#include <algorithm>
 
int INF = 1000000007;
using namespace std;
 
int dp[501][501];
int cost[501];
int sum[501];
int T, K, i;
 
int main() {
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> K;
        for (i = 1; i <= K; ++i) {
            cin >> cost[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + cost[i];
        }
 
        for (int d = 1; d < K; ++d) {
            for (int tx = 1; tx + d <= K; ++tx) {
                int ty = tx + d;
                dp[tx][ty] = INF;
 
                for (int mid = tx; mid < ty; ++mid)
                    dp[tx][ty] =
                    min(dp[tx][ty], dp[tx][mid] + dp[mid + 1][ty] + sum[ty] - sum[tx - 1]);
            }
        }
 
        cout << dp[1][K] << endl;
    }
    return 0;
}

3. 문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/11066

4. 참고

https://js1jj2sk3.tistory.com/search/11066